[개념 정리] Plücker coordinates (플뤼커 좌표계)

3차원상의 직선을 표현하는 방법중에 하나입니다.

일반적으로 '2개 점의 위치'로 표현하거나 '점의 위치'와 '방향 벡터'로 표현하지만,

Plucker coordinates에서는 '방향 벡터'와 '모멘트 벡터'로 표현합니다. (그림 출처 : link)

'방향벡터'는 점 x에서 y로의 벡터 d = y - x로 계산 할 수 있습니다.

'모멘트 벡터'는 점 x와 y의 외적 m = x $\times$ y으로 계산하며, 이 벡터는 원점(=m의 시작점), x, y가 포함된 평면에 수직이게 됩니다. 또한 위에 표시된 초록색 삼각형의 면적이 '모멘트 벡터'의 크기가 되는 성질을 가집니다.

최종적으로 Plucker coordinates로 표현된 직선은 아래와 같이 6차원으로 표기됩니다.

 

 

예시

Two Points Representation → Plücker Coordinates

x = (2,3,7), y = (2,1,0) 일 때,

방향 벡터는 d=y−x=(0,−2,−7),

모멘트 벡터는 m = x $\times$ y 이며, 이를 계산하면

따라서 (d:m)=(0:−2:−7:−7:14:−4)이 됩니다.

 

 

 

Plücker Coordinates  →  Two Points Representation

$(d:m)=(0:−2:−7:−7:14:−4)$

d=(0,−2,−7): 방향 벡터

m=(−7,14,−4): 모멘트 벡터

x와 d의 외적이 m인 수식을 이용해 x를 찾습니다. x는 0이 아닌 임의의 점 $(x_1,x_2,x_3)$으로 설정합니다.

위 조건을 풀면, 아래 방정식이 계산되고,

최종적으로 x = (2,3,7)이 됩니다. y는 y = x + d 를 사용해 계산합니다.

x = (2,3,7)이고 y = (2,1,0) 이됩니다.